7.3 Areas of Sectors and Segments

一、扇形面积基础应用（每题10分，共30分）

1.

圆的半径为 4 cm，扇形圆心角为 1.5 rad，求扇形面积。

解题步骤：
使用扇形面积公式：A = (1/2)r²θ
代入数值：A = (1/2) × 4² × 1.5 = (1/2) × 16 × 1.5 = 8 × 1.5 = 12 cm²

答案：12 cm²

2.

扇形面积为 12 cm²，半径为 3 cm，求圆心角 θ（单位：弧度）。

解题步骤：
使用扇形面积公式变形：θ = 2A/r²
代入数值：θ = 2 × 12 / 3² = 24 / 9 = 8/3 ≈ 2.67 rad

答案：8/3 rad（或约 2.67 rad）

3.

扇形的弧长为 6 cm，半径为 5 cm，求扇形面积（提示：先由弧长公式 l = rθ 求 θ）。

解题步骤：
1. 先求圆心角：θ = l/r = 6/5 = 1.2 rad
2. 再求扇形面积：A = (1/2) × 5² × 1.2 = (1/2) × 25 × 1.2 = 12.5 × 1.2 = 15 cm²

答案：15 cm²

二、弓形面积计算（每题15分，共30分）

4.

圆的半径为 5 cm，弓形对应的圆心角为 π/3 rad，求弓形面积（保留3位有效数字）。

解题步骤：
使用弓形面积公式：A = (1/2)r²(θ - sin θ)
代入数值：A = (1/2) × 5² × (π/3 - sin(π/3)) = (25/2) × (π/3 - √3/2)
计算：π/3 ≈ 1.0472，√3/2 ≈ 0.8660，故 θ - sin θ ≈ 1.0472 - 0.8660 = 0.1812
A = 12.5 × 0.1812 ≈ 2.265 ≈ 2.26 cm²

答案：2.26 cm²

5.

扇形圆心角为 2 rad，半径为 6 cm，求：
- 扇形面积；
- 对应三角形的面积（用 (1/2)r² sin θ）；
- 弓形面积（扇形面积 - 三角形面积）。

解题步骤：
1. 扇形面积：A扇形 = (1/2) × 6² × 2 = (1/2) × 36 × 2 = 36 cm²
2. 三角形面积：A三角形 = (1/2) × 6² × sin 2 ≈ (18) × 0.9093 ≈ 16.367 cm²
3. 弓形面积：A弓形 = 36 - 16.367 ≈ 19.633 cm²

答案：扇形面积 36 cm²；三角形面积 ≈ 16.37 cm²；弓形面积 ≈ 19.63 cm²

三、几何综合应用（每题20分，共40分）

6.

半圆直径 AB = 10 cm，点 C 在半圆上，∠BOC = π/4 rad（O 为圆心）。
- 求扇形 BOC 的面积；
- 求 △AOC 的面积；
- 求弓形 BC 的面积。

解题步骤：
半径 r = 5 cm

1. 扇形 BOC 面积：A = (1/2) × 5² × (π/4) = (25/2) × (π/4) = 25π/8 ≈ 9.817 cm²

2. △AOC 面积：∠AOC = π - π/4 = 3π/4 rad
A = (1/2) × 5² × sin(3π/4) = (25/2) × (√2/2) = 25√2/4 ≈ 8.839 cm²

3. 弓形 BC 面积：扇形 BOC 面积 - △BOC 面积
△BOC 面积 = (1/2) × 5² × sin(π/4) = (25/2) × (√2/2) = 25√2/4 ≈ 8.839 cm²
弓形面积 ≈ 9.817 - 8.839 ≈ 0.978 cm²

答案：扇形 BOC ≈ 9.82 cm²；△AOC ≈ 8.84 cm²；弓形 BC ≈ 0.98 cm²

7.

扇形 AOB 周长为 20 cm，面积为 16 cm²，求半径 R 和圆心角 θ（单位：弧度）。

解题步骤：
扇形周长 = 2R + Rθ = R(2 + θ) = 20
扇形面积 = (1/2)R²θ = 16

由面积公式：θ = 32/R²
代入周长：R(2 + 32/R²) = 20
2R + 32/R = 20
乘以R：2R² + 32 = 20R
2R² - 20R + 32 = 0
R² - 10R + 16 = 0
(R - 2)(R - 8) = 0
R = 2 cm 或 R = 8 cm

当 R = 2 cm 时：θ = 32/4 = 8 rad
当 R = 8 cm 时：θ = 32/64 = 0.5 rad

答案：R = 2 cm, θ = 8 rad 或 R = 8 cm, θ = 0.5 rad